Question

已知圆C：x²+y²-8x+4y+16=0
（1）若直线l过点A（3，0），且被圆C截得的弦长为2

3

，求直线l的方程；
（2）设直线l：mx-（m²+1）y=4m，m∈R，问直线l能否将圆C分割成弧长的比值为

1

2

的两段圆弧？为什么？

Answer 1

分析：（1）若直线l的斜率存在，则直线可以设为：y=k（x-3），由垂径定理可求圆心C到直线l的距离d，然后利用点到直线距离公式可求斜率k；若直线l的斜率不存在，则直线可以设为：x=3，代入检验是否满足题意
（2）若存在满足题意的直线l，则直线l所对的圆心角为120°，结合圆的性质可得弦心距d=

1

2

r，结合点到直线的距离公式可求m是否存在

解答：解：（1）若直线l的斜率存在，设为k，则过点A（3，0）的直线可以设为：y=k（x-3）…（1分）
圆方程 x²+y²-8x+4y+16=0可以化为：（x-4）²+（y+2）²=4
所以圆心为：C（4，-2），半径为2…（2分）
由于弦长为2

3

，所以由垂径定理得，圆心C到直线l的距离d=

22-( 2 3 2

)2=1，…（3分）
结合点到直线距离公式，得：

|k+2|

k2+1

=1解得：k=-

3

4

…（4分）
所以，直线l的方程为：y=-

3

4

(x-3)化简得：3x+4y-9=0…（5分）
若直线l的斜率不存在，则过点A（3，0）的直线可以设为：x=3．
此时圆心C（4，-2）到它的距离等于1，符合题意…（7分）
所以所求直线方程为：x=3和  3x+4y-9=0…（8分）
（2）若直线l能将圆C分割成弧长的比值为

1

2

的两段圆弧，则直线l所对的圆心角为120⁰…（10分）
由圆的性质可知，弦心距d=

1

2

r=1…（11分）
所以

|4m+2(m2+1)-4m|

m2+(m2+1)2

=1…（12分）
即|2(m2+1)|=

m2+(m2+1)2

所以：3m⁴+5m²+3=0而此方程无解，…（13分）
所以直线l不能将圆C分割成弧长的比值为

1

2

的两段圆弧…（14分）

点评：本题主要考查了直线与圆相交关系的应用，解题的关键是垂径定理及点到直线距离公式的灵活应用．