Question

（理科）已知函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x），a是不为0的实常数．
（1）若函数y=f（x），x∈R是周期函数，写出符合条件a的值；
（2）若当0≤x＜1时，f（x）=x（1-x），且函数y=f（x）在区间[0，+∞）上的值域是闭区间，求a的取值范围；
（3）若当0＜x≤1时，f（x）=3^x+3^-x，试研究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出当a=1时，得到T=1，再求当a=-1时，f（x+1）=-f（x），f（x+2）=-f（x+1）=f（x），然后再求周期．
（2）在区间[n，n+1）上取变量，利用“f（x+1）=af（x）”逐步将变量转化到区间[0，1]上，用f（x）=x（1-x）求解．
（3）由于f_n（x）=aⁿ（3^x-n+3^n-x），易知f_n（x）=aⁿ（3^x-n+3^n-x），x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z当a＞0时是增函数，由“函数y=f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数”，有2an+1≥

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3

an求解即可．

解答：解：（1）a=1时，T=1，
a=-1时，f（x+1）=-f（x），f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴T=2；
（2）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₀（x-n），
∴f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x），
∴-

1

4

|a|n≤fn(x)≤

1

4

|a|n；
当|a|＞1时f（x）∈（-∞，+∞）舍去；
当a=1时f(x)∈[0，

1

4

]符合，当a=-1时f(x)∈[-

1

4

，

1

4

]符合；
当0＜a＜1时f(x)∈[0，

1

4

]符合，当-1＜a＜0时f(x)∈[0，

1

4

]符合；∴a∈[-1，0）∪（0，1]．
（3）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n），∴f_n（x）=aⁿ（3^x-n+3^n-x）；
易证函数f_n（x）=aⁿ（3^x-n+3^n-x），x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z当a＞0时是增函数，
此时∴fn(x)∈[2an，

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3

an]，
若函数y=f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，则必有2an+1≥

10

3

an，解得：a≥

5

3

；
显然当a＜0时，函数y=f（x）在区间[0，+∞）上不是单调函数；
所以a≥

5

3

．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数的周期性、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．