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(理科)已知函数y=f(x),x∈R满足f(x+1)=af(x),a是不为0的实常数.
(1)若函数y=f(x),x∈R是周期函数,写出符合条件a的值;
(2)若当0≤x<1时,f(x)=x(1-x),且函数y=f(x)在区间[0,+∞)上的值域是闭区间,求a的取值范围;
(3)若当0<x≤1时,f(x)=3x+3-x,试研究函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是否可能是单调函数?若可能,求出a的取值范围;若不可能,请说明理由.
分析:(1)先求出当a=1时,得到T=1,再求当a=-1时,f(x+1)=-f(x),f(x+2)=-f(x+1)=f(x),然后再求周期.
(2)在区间[n,n+1)上取变量,利用“f(x+1)=af(x)”逐步将变量转化到区间[0,1]上,用f(x)=x(1-x)求解.
(3)由于fn(x)=an(3x-n+3n-x),易知fn(x)=an(3x-n+3n-x),x∈[n,n+1],n≥0,n∈Z当a>0时是增函数,由“函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数”,有2an+1
10
3
an
求解即可.
解答:解:(1)a=1时,T=1,
a=-1时,f(x+1)=-f(x),f(x+2)=-f(x+1)=f(x),
∴T=2;
(2)当n≤x≤n+1(n≥0,n∈Z)时,fn(x)=afn-1(x-1)=a2fn-1(x-2)=…=anf0(x-n),
∴fn(x)=an(x-n)(n+1-x),
-
1
4
|a|nfn(x)≤
1
4
|a|n

当|a|>1时f(x)∈(-∞,+∞)舍去;
当a=1时f(x)∈[0,
1
4
]
符合,当a=-1时f(x)∈[-
1
4
1
4
]
符合;
当0<a<1时f(x)∈[0,
1
4
]
符合,当-1<a<0时f(x)∈[0,
1
4
]
符合;∴a∈[-1,0)∪(0,1].
(3)当n≤x≤n+1(n≥0,n∈Z)时,fn(x)=afn-1(x-1)=a2fn-1(x-2)=…=anf1(x-n),∴fn(x)=an(3x-n+3n-x);
易证函数fn(x)=an(3x-n+3n-x),x∈[n,n+1],n≥0,n∈Z当a>0时是增函数,
此时∴fn(x)∈[2an
10
3
an]

若函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数,则必有2an+1
10
3
an
,解得:a≥
5
3

显然当a<0时,函数y=f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数;
所以a≥
5
3
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、函数的周期性、函数与方程的综合运用等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题.
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(理科)已知函数y=f(x),x∈R,对任意实数,x均有f(x)<f(x+a),a是正的实常数,下列结论中说法正确的序号是
(3)(4)
(3)(4)

(1)f(x)一定是增函数;
(2)f(x)不一定是增函数,但满足上述条件的所有f(x)一定存在递增区间;
(3)存在满足上述条件的f(x),但它找不到递增区间;
(4)存在满足上述条件的函数f(x),既有递增区间又有递减区间.

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(理科)已知函数y=f(x),x∈R,对任意实数,x均有f(x)<f(x+a),a是正的实常数,下列结论中说法正确的序号是______;
(1)f(x)一定是增函数;
(2)f(x)不一定是增函数,但满足上述条件的所有f(x)一定存在递增区间;
(3)存在满足上述条件的f(x),但它找不到递增区间;
(4)存在满足上述条件的函数f(x),既有递增区间又有递减区间.

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