Question

设函数ω（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π ）在x=

π

6

处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为

π

2

．
（I）求f（x）的解析式；
（II）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）通过函数的周期求出ω，求出A，利用函数经过的特殊点求出φ，推出f（x）的解析式；
（II）直接利用函数的解析式，通过正弦函数的值域求出所求函数的值域即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知f（x）的周期为T=π，即

2π

ω

=π，解得ω=2．
因此f（x）在x=

π

6

处取得最大值2，所以A=2，从而sin（2×

π

6

+φ）=1，
所以

π

3

+φ=

π

2

+2kπ，k∈z，又-π＜φ≤π，得φ=

π

6

，
故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（Ⅱ）因为y=sinx∈[-1，1]，
所以sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]；则2sin（2x+

π

6

）∈[-2，2]；
函数f（x）的值域：[-2，2]

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，正弦函数的值域的应用，考查计算能力．