Question

已知向量=（2cos²x，sinx），=（1，2cosx）．
（1）若⊥且0＜x＜π，试求x的值；
（2）设f（x）=•，试求f（x）的对称轴方程，对称中心，单调递增区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意，利用向量的坐标运算公式可求得sin（2x+）=-，再结合0＜x＜π，即可求x的值；
（2）利用f（x）=sin（2x+）+1即可求f（x）的对称轴方程，对称中心，单调递增区间．
解答：解：（1）∵⊥，
∴•=0，又=（2cos²x，sinx），=（1，2cosx），
∴2cos²x+2sinxcosx=0，
∴cos2x+sin2x+1=0，即sin（2x+）=-1，
∴sin（2x+）=-．
∵0＜x＜π，
∴2x+∈，
∴，
∴．
（2）由题意得．
令2x+=kπ+可得x=+，
∴f（x）的对称轴方程为：x=+；
令2x+=kπ可得x=-，
∴f（x）的对称轴中心为：（-，1）；
令可得，
∴f（x）单调递增区间为．
点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查正弦函数的对称性与单调性，得到f（x）=sin（2x+）+1是求f（x）的对称轴方程，对称中心，单调递增区间的关键，属于中档题．