Question

11．求下列函数的最大值和最小值；
y=3cos²x-4cosx+1，x∈[$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]．

Answer 1

分析 换元可得y=3t²-4t+1，t∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：∵x∈[$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]．∴t=cosx∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴y=3cos²x-4cosx+1=3t²-4t+1，
由二次函数知识可知当t∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]时，函数y=3t²-4t+1单调递减，
∴当t=-$\frac{1}{2}$时，y_max=3（-$\frac{1}{2}$）²-4（-$\frac{1}{2}$）+1=$\frac{15}{4}$；
当t=-$\frac{1}{2}$时，y_min=3（$\frac{1}{2}$）²-4（$\frac{1}{2}$）+1=-$\frac{1}{4}$；
∴原函数的最大值和最小值分别为：$\frac{15}{4}$，-$\frac{1}{4}$

点评 本题考查三角函数的最值，涉及换元法和二次函数区间的最值，属中档题．