Question

4．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对于任意x∈R，f（x+1）=f（x-1）-f（2），在区间（1，2）上f（x）=x²-3x+2，则f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 运用奇函数的性质可得f（0）=0，可令x=1，x=$\frac{1}{2}$，由f（-x）=-f（x），结合已知区间上的解析式，即可得到结论．

解答 解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，
对于任意x∈R，f（x+1）=f（x-1）-f（2），
当x=1时，f（2）=f（0）-f（2），
即有f（2）=0，
即有f（x+1）=f（x-1），
令x=$\frac{1}{2}$，则f（$\frac{3}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$），
又f（-$\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$），
在区间（1，2）上f（x）=x²-3x+2，
即有f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{2}$+2=-$\frac{1}{4}$，
则有f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查函数的奇偶性和对称性的性质和运用，运用赋值法是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．