Question

13．如图，在△AOB中，∠AOB=$\frac{π}{2}$，∠BAO=$\frac{π}{6}$，AB=4，D为线段BA的中点．△AOC由△AOB绕直线AO旋转而成，记∠BOC=θ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$]．
（1）证明：当θ=$\frac{π}{2}$时，平面COD⊥平面AOB；
（2）当三棱锥D-BOC的体积为1时，求三棱锥A-BOC的全面积．

Answer 1

分析 （1）运用直线平面的垂直，平面的垂直问题之间的转化证明．
（2）运用直角三角形Rt△AOB中，得出DE⊥平面BOC，利用体积公式得出：△BOC是等边三角形，分别求出等腰三角形ABC的面积为$\sqrt{15}$
△AOB与△AOC的面积都是$2\sqrt{3}$，△BOC的面积为$\sqrt{3}$，即可得出三棱锥A-BOC的全面积．

解答 （1）证：当$θ=\frac{π}{2}$时，$∠BOC=\frac{π}{2}$，
即OC⊥OB，
又OC⊥OA，OA∩OB=O
∴OC⊥平面AOB，
∵OC?平面COD
∴平面COD⊥平面AOB．
（2）解：在Rt△AOB中，$AB=4，∠BAO=\frac{π}{6}，∠AOB=\frac{π}{2}$
∴$OB=2，OA=2\sqrt{3}$，
取OB的中点E，连接DE，则DE∥AO，
∴$DE=\sqrt{3}$，
又AO⊥平面BOC，
∴DE⊥平面BOC，
∴${V_{D-BOC}}=\frac{1}{3}{S_{△BOC}}•DE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2sinθ×\sqrt{3}=1$
∴$sinθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$θ=\frac{π}{3}$，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC=2
∴等腰三角形ABC的面积为$\sqrt{15}$
△AOB与△AOC的面积都是$2\sqrt{3}$
△BOC的面积为$\sqrt{3}$
∴多面体A-BOC的全面积是$5\sqrt{3}+\sqrt{15}$．

点评 本题考查了空间几何体的性质，面积，公式求解，面面垂直的问题，综合性较强，属于中档题．