Question

18．数列{a_n}中，已知a₁=2，且a₁，3，a₂成等差数列，当x∈N^*时，恒有a_n+1²=a_n•a_n+2成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_6n-5+a_6n-3+a_6n-1，求数列{b_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意判断出数列是等比数列，进一步求出数列的公比和通项公式．
（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，再利用等比数列的前n项和求出结果．

解答 解：（1）数列{a_n}中，当x∈N^*时，恒有a_n+1²=a_n•a_n+2成立．
所以数列{a_n}为等比数列，
已知a₁=2，且a₁，3，a₂成等差数列，
所以：a₁+a₂=6
设数列的公比为q，
解得：q=2．
所以：${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}={2}^{n}$；
（2）由（1）得：${a}_{n}={2}^{n}$
则：b_n=a_6n-5+a_6n-3+a_6n-1
=2^6n-5+2^6n-3+2^6n-1
=21•2^6n-5，
所以：S_n=b₁+b₂+…+b_n
=21（$\frac{2（{2}^{6n}-1）}{{2}^{6}-1}$）
=$\frac{2}{3}$（2⁶ⁿ-1）

点评 本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，等比数列的求和的应用．