Question

8．若曲线C₁：y=ax²（a＞0）与曲线C₂：y=lnx有唯一的公共点，则实数a的值为$\frac{1}{2e}$．

Answer 1

分析 两曲线有唯一公共点，说明两曲线有公切线，设出切点坐标，然后求出两个函数的导函数，代入切点坐标即可求得a值．

解答 解：由y=ax²，得y′=2ax，
由y=lnx，得y′=$\frac{1}{x}$，
曲线y=ax²（a＞0）与曲线y=lnx有唯一的公共点，
则该公共点为两曲线公切线的切点，设为（s，t），
则$\left\{\begin{array}{l}{2as=\frac{1}{s}}\\{t=a{s}^{2}}\\{t=lns}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{1}{2e}$．
故答案为：$\frac{1}{2e}$．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了数学转化思想方法，是中档题．