Question

13．已知点P（2，2）在抛物线C；y²=2px（p＞0）上，且抛物线C上的点到直线l：y=x+b（b＞0）的距离的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
（1）求直线l及抛物线C的方程；
（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线
PA、PB、PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃，问：是否存在实数λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点P（2，2）在抛物线C，即可解得p=1．设与直线l平行且与抛物线相切的直线l′的方程为：y=x+m，与抛物线方程联立化为x²+（2m-2）x+m²=0，令△=0，解得m，利用平行线之间的距离公式即可得出b；
（2）设直线AB的方程为：y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，与抛物线方程联立可得ky²-2y-4k+2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得到根与系数的关系，利用向量计算公式可得k₁+k₂．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2k+1}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，解得x_M，y_M，利用向量计算公式可得k₃，即可判断出．

解答 解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C，
∴2²=2p×2，解得p=1．
设与直线l平行且与抛物线相切的直线l′的方程为：y=x+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，化为x²+（2m-2）x+m²=0，
令△=（2m-2）²-4m²=0，解得m=$\frac{1}{2}$，
则直线l′的方程为y=x+$\frac{1}{2}$．
则$\frac{|b-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，解得b=2或b=-1（舍去），
∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y²=2x；
（2）∵直线AB的斜率存在，∴设直线AB的方程为：y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2k+1}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，可得ky²-2y-4k+2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{2}{k}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{2-4k}{k}$，
∴${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-2}$=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{y}_{1}^{2}}{2}-2}$=$\frac{2}{{y}_{1}+2}$，${k}_{2}=\frac{2}{{y}_{2}+1}$，
∴k₁+k₂=$\frac{2}{{y}_{1}+2}+\frac{2}{{y}_{2}+2}$=$\frac{2（{y}_{1}+{y}_{2}）+8}{{y}_{1}{y}_{2}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}$=$\frac{2×\frac{2}{k}+8}{\frac{2-4k}{k}+2×\frac{2}{k}+4}$=$\frac{4k+2}{3}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2k+1}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，解得x_M=$\frac{2k+1}{k-1}$，y_M=$\frac{4k-1}{k-1}$，
∴k₃=$\frac{\frac{4k-1}{k-1}-2}{\frac{2k+1}{k-1}-2}$=$\frac{2k+1}{3}$，
∴k₁+k₂=2k₃．因此，存在实数λ=2，使得k₁+k₂=λk₃．

点评 本题考查了抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相切转化为方程联立可得判别式为0及其根与系数的关系、斜率计算公式、平行线之间的距离公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．