Question

2．函数f（x）=$\frac{cosx}{cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2}}$的值域为（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 先利用倍角公式及两角和的正弦公式把函数f（x）化成标准形式，然后根据正弦函数的值域求解函数f（x）值域．

解答 解：f（x）=$\frac{cosx}{cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2}}$=$\frac{co{s}^{2}\frac{x}{2}-si{n}^{2}\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2}}$
=cos$\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2}$，（x≠$\frac{π}{2}+2kπ，（k∈Z）$
=$\sqrt{2}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）$，（x≠$\frac{π}{2}+2kπ，（k∈Z）$
∵$-1＜sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）＜1$
∴$-\sqrt{2}＜\sqrt{2}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）＜\sqrt{2}$
故答案为（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了三角函数式的化简及三角函数的值域，求解这类题目的关键是把三解函数式化成标准形式．