Question

14．数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{a_n}{2{a}_{n}+1}$，a₁=1．
（1）证明：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n，并证明$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$$＞\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 （1）将等式两边同时取倒数，构造等差数列，即可证明数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）根据等差数列的通项公式求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n，利用放缩法即可证明不等式．

解答 （1）证明：∵a_n+1=$\frac{a_n}{2{a}_{n}+1}$，a₁=1，
∴两边同时取倒数得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
则$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
故数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，公差d=2．
（2）∵数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，公差d=2，首项为$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，
则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n+n（n-1）=n²，
则$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∵$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＞$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＞$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
故$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$$＞\frac{n}{n+1}$成立．

点评 本题主要考查数列递推公式的应用，以及等差数列的证明，利用取倒数法是解决本题的关键．利用放缩法是证明不等式的常用方法．