Question

11．已知点P是边长为1的正方形ABCD的对角线AC上的任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{EF}$等于（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{PE}=μ\overrightarrow{b}$（其中λ、μ∈R），根据题意可知${\overrightarrow{a}}^{2}=1$，${\overrightarrow{b}}^{2}=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，λ＞0，μ＞0，且-μ+λ=1．所以$\overrightarrow{EF}=λ\overrightarrow{a}-μ\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{PE}=（λ-1）\overrightarrow{a}+（μ+1）\overrightarrow{b}$，计算$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{EF}$即可．

解答 解：设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{a}$，
$\overrightarrow{PE}=μ\overrightarrow{b}$（其中λ、μ∈R），
根据题意可知${\overrightarrow{a}}^{2}=1$，${\overrightarrow{b}}^{2}=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
λ＞0，μ＞0，且-μ+λ=1．
所以$\overrightarrow{EF}=λ\overrightarrow{a}-μ\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{PE}=（λ-1）\overrightarrow{a}+（μ+1）\overrightarrow{b}$，
故$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{EF}$=$[（λ-1）\overrightarrow{a}+（μ+1）\overrightarrow{b}]（λ\overrightarrow{a}-μ\overrightarrow{b}）$
=（λ-1）λ-μ（μ+1）
=（λ+μ）（λ-μ-1）
=0，
故选：D．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，其中求出$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{EF}$的表达式是解答本题的关键．