Question

16．若${（\sqrt{x}-\frac{a}{x}）^6}（a＞0）$的展开式的常数项是$\frac{15}{4}$，则实数a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值；再根据常数项是$\frac{15}{4}$，求得实数a的值．

解答 解：${（\sqrt{x}-\frac{a}{x}）^6}（a＞0）$的展开式的通项公式为 ${T_{r+1}}=C_6^r{（\sqrt{x}）^{6-r}}{（-\frac{a}{x}）^r}={（-1）^r}C_6^r{a^r}{x^{3-\frac{3}{2}r}}$，
令3-$\frac{3r}{2}$=0，求得r=2，可得常数项为${C}_{6}^{2}$•a²．
再根据常数项是$\frac{15}{4}$，可得 ${C}_{6}^{2}$•a²=$\frac{15}{4}$，求得a=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．