Question

1．为美化环境，某小区物业计划在小区内种植甲，乙，丙，丁四棵树苗，受环境影响，甲，乙两棵树苗成活率均为$\frac{1}{2}$，丙，丁两棵树苗成活率均为a（0＜a＜1），每棵树苗成活与否相互没有影响．
（Ⅰ）若甲，乙两棵树苗中有且仅有一棵成活的概率与丙，丁两棵树苗都成活的概率相等，求a的值
（Ⅱ）设X为最终成活的树苗的数量，求X的概率分布列及数学期望值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件通过甲，乙两棵树苗中有且仅有一棵成活的概率与丙，丁两棵树苗都成活的概率相等，列出方程，求解a的值．
（Ⅱ）设X为最终成活的树苗的数量，求出X的概率，列出分布列，然后求解数学期望值．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）丙，丁两棵树苗成活率均为a，甲，乙两棵树苗成活率均为$\frac{1}{2}$，
甲，乙两棵树苗中有且仅有一棵成活的概率与丙，丁两棵树苗都成活的概率相等，
可得${C}_{2}^{1}（{\frac{1}{2}）}^{2}={a}^{2}$，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$         …（4分）   
（Ⅱ）X可取0、1、2、3、4，
$p（X=0）=C_2^0{（\frac{1}{2}）^2}•C_2^0{（1-a）^2}=\frac{1}{4}{（1-a）^2}$$p（X=1）=C_2^1{（\frac{1}{2}）^2}•C_2^0{（1-a）^2}+C_2^0{（\frac{1}{2}）^2}•C_2^1a（1-a）=\frac{1}{2}{（1-a）^{\;}}$$P（X=2）=C_2^2{（\frac{1}{2}）^2}C_2^0{（1-a）^2}+C_2^1{（\frac{1}{2}）^2}•C_2^1a（1-a）+C_2^0{（\frac{1}{2}）^2}•C_2^2{a^2}$=$\frac{1}{4}（1+2a-2{a^2}）$$P（X=3）=C_2^2{（\frac{1}{2}）^2}•C_2^1a（1-a）+C_2^1{（\frac{1}{2}）^2}C_2^2{a^2}=\frac{a}{2}$，
$P（X=4）=C_2^2{（\frac{1}{2}）^2}•C_2^2{a^2}=\frac{a^2}{4}$…（7分）
∴X的分布列为

x	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{4}{（1-a）}^{2}$	$\frac{1}{2}（1-a）$	$\frac{1}{4}（1+2a-2{a}^{2}）$	$\frac{a}{2}$	$\frac{{a}^{2}}{4}$

…（9分）
$EX=1×\frac{1}{2}（1-a）+2×$$\frac{1}{4}（1+2a-2{a}^{2}）$+3×$\frac{a}{2}$+4×$\frac{{a}^{2}}{4}$=1+2a
∴EX=1+2a．…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列的求法，期望的求法，考查计算能力．