Question

13．已知P是x²+y²-2x-2y+1=0上动点，PA、PB是圆（x-4）²+（y-5）²=4的切线，A，B为切点，则∠APB的最大值为60°．

Answer 1

分析 求出圆的标准方程，作出对应的图象，利用两点间的距离关系求出CP的距离，要求∠APB最大，等价为CP最小即可．

解答 解：圆x²+y²-2x-2y+1=0的标准方程为（x-1）²+（y-1）²=1，
圆心坐标为D（1，1），半径R=1，
圆（x-4）²+（y-5）²=4的圆心坐标为C（4，5），半径r=2，
若∠APB最大，则∠APC最大，即CP最小，
则由图象知，CP的最小值为CD-DP=$\sqrt{（4-1）^{2}+（5-1）^{2}}$-1=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}-1$=5-1=4，
此时sin∠APC=$\frac{AC}{CP}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
则∠APC=30°，
即∠APB=2∠APC=60°，
故答案为：60°

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键．