Question

2．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A）．如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，点P的坐标为（2，0），那么d（P，A）=1；如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为6+π．

Answer 1

分析 如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，设Q（x，y），运用两点的距离公式，结合二次函数的最值，即可得到最小值；讨论P的位置，得到点集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的图形为三个边长分别为2，1的矩形和三个半径为1，圆心角为120度的扇形以及内部，运用面积公式计算即可得到．

解答 解：如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，设Q（x，y），
点P的坐标为（2，0），则|PQ|=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+（1-x）^{2}}$
=$\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}$=$\sqrt{2（x-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$，由于0≤x≤1，即有x=1取得最小值1，
那么d（P，A）=1；
如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，
若P在正三角形及其内部，则面积为0，
若P∉A，则点集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的图形为
三个边长分别为2，1的矩形和三个半径为1，圆心角为120度的扇形以及内部，
即有面积为3×2×1+3×$\frac{1}{3}$π=6+π，
故答案为：1，6+π．

点评 本题考查新定义：点P到集合A的距离的理解和运用，考查集合的含义和运算能力，属于中档题．