Question

10．已知函数$f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}）$的图象的一部分如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当$x∈[-6，-\frac{1}{3}]$时，求函数y=f（x）的最大值与最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函数的图象求出振幅，周期以及初相，然后求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）通过$x∈[-6，-\frac{1}{3}]$，求出函数的相位的范围，然后求解三角函数的最值，以及x的值即可．

解答 （本小题共13分）
解：（I）由图象知A=2，T=8=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=$\frac{π}{4}$，得f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+φ）．
由$\frac{π}{4}$×1+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$⇒φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$．∴f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）； …（6分）
（II）y=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$） 
∵x∈$[-6，-\frac{1}{3}]$，
∴$\frac{π}{4}x+\frac{π}{4}∈[-\frac{5π}{4}，\frac{π}{6}]$，
∴当$\frac{π}{4}x+\frac{π}{4}=-\frac{5π}{4}$，即x=-6时 f（x）取得最大值为$\sqrt{2}$
当$\frac{π}{4}x+\frac{π}{4}=-\frac{π}{2}$，即x=-3时 f（x）取得最小值为-2…（13分）

点评 本题考查三角函数的极限速度求法，三角函数的最值的求法，考查计算能力．