Question

20．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=na_n-3n（n-1），a₂=11，求S_n．

Answer 1

分析 由已知结合数列递推式求得首项，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作出后得到数列为等差数列，由等差数列的前n项和得答案．

解答 解：由S_n=na_n-3n（n-1）①，
得S₂=a₁+a₂=2a₂-3×2×1，
即a₁=a₂-6=11-6=5，
当n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1-3（n-1）（n-2）②，
①-②得：（n-1）a_n-（n-1）a_n-1-6（n-1）=0，
∵n≥2，∴a_n-a_n-1=6，
即数列{a_n}是以5为首项，以6为公差的等差数列，
则${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}$=$5n+\frac{6n（n-1）}{2}=3{n}^{2}+2n$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的前n项和，是中档题．