Question

10．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+2x，x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}}$，当x∈[0，100]时，关于x的方程f（x）=x-$\frac{1}{5}$的所有解的和为10000．

Answer 1

分析 根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和，找出规律作和即可．

解答 解：x∈[0，1）时，f（x）=（x-1）²+2（x-1）+1=x²，
令f（x）=x-$\frac{1}{5}$，得：x²-x+$\frac{1}{5}$=0，∴x₁+x₂=1；
x∈[1，2）时，f（x）=（x-1）²+1，
令f（x）=x-$\frac{1}{5}$，得：x₃+x₄=3，
x∈[3，4）时，f（x）=（x-2）²+2，
令f（x）=x-$\frac{1}{5}$，得：x₅+x₆=5，
…，
x∈[n，n+1）时，f（x）=（x-n）²+n，
令f（x）=x-$\frac{1}{5}$，得：x_2n+1+x_2n+2=2n+1，
x∈[99，100]时，f（x）=（x-99）²+99，
令f（x）=x-$\frac{1}{5}$，得：x₁₉₉+x₂₀₀=199，
∴1+3+5+…+199=10000，
故答案为：10000．

点评 本题考查了分段函数问题，考查了分类讨论以及二次函数的性质，是一道基础题．