Question

19．已知α是△ABC的内角，若cosα、$\frac{1}{2}$、sinα成等差数列，且△ABC的周长为$\sqrt{2}$，则最大边长的最小值为2-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由条件利用等差数列的定义求得α=$\frac{π}{2}$，最大边为斜边c，由△ABC的周长为a+b+c=$\sqrt{2}$，即a+b=$\sqrt{2}$-c，平方利用基本不等式求得c的最小值．

解答 解：∵α是△ABC的内角，cosα、$\frac{1}{2}$、sinα成等差数列，∴cosα+sinα=1，∴α=$\frac{π}{2}$．
设最大边为c，则有c²=a²+b²，△ABC的周长为 a+b+c=$\sqrt{2}$，即a+b=$\sqrt{2}$-c．
平方可得，a²+b²+2ab=2+c²-2$\sqrt{2}$c，即2ab=2-2$\sqrt{2}$c．
由基本不等式 2ab≤a²+b²=c²，即 c²≥2-2$\sqrt{2}$c，求得c≥2-$\sqrt{2}$，或c≤-2-$\sqrt{2}$（舍去），
故斜边c的最小值为 2-$\sqrt{2}$，
故答案为：2-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查等差数列的定义、余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．