Question

14．设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为单位向量，其中$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$且$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为2，则$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根据向量的运用得出则$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•\overrightarrow{{e}_{2}}}{|\overrightarrow{{e}_{2}}|}$=$\frac{2{e}_{1}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}{1}$=2|$\overrightarrow{{e}_{1}}$||$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cosθ+1=2，得出cosθ=$\frac{1}{2}$，求解即可．

解答 解：设e₁与e₂夹角为θ，
则$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•\overrightarrow{{e}_{2}}}{|\overrightarrow{{e}_{2}}|}$=$\frac{2{e}_{1}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}{1}$=2|$\overrightarrow{{e}_{1}}$||$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cosθ+1=2，
解得cosθ=$\frac{1}{2}$，所以$θ=\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查向量的基本运算及单位向量、向量的投影概念的理解．解题关键是对向量投影的理解．