Question

11．在数列{a_n}中，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$对所有正整数n都成立，且a₁=2，则a_n=$\frac{2}{n}$．

Answer 1

分析 由数列递推式得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}构成以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，由等差数列的通项公式求得$\frac{1}{{a}_{n}}$后得答案．

解答 解：由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$，
又a₁=2，得$\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}构成以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{1}}+（n-1）d=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{n}{2}$．
∴${a}_{n}=\frac{2}{n}$．
故答案为：$\frac{2}{n}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是中档题．