Question

8．设a、b、c∈R^*，求证：
（1）（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）≥9；
（2）（a+b+c）（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{a+c}$）≥$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用均值不等式由左推相互右即可．
（2）利用综合法以及均值不等式证明即可．

解答 证明：a、b、c∈R^*，
（1）∵a+b+c≥$3\root{3}{abc}$＞0，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$$≥3\root{3}{\frac{1}{abc}}$＞0；当且仅当a=b=c时取等号，
可得（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）≥$3\root{3}{abc}•≥3\root{3}{\frac{1}{abc}}$=9．
即（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）≥9；
不等式成立．
（2）a+b+c=$\frac{1}{2}$[（a+b）+（b+c）+（c+a）]≥$\frac{3}{2}\root{3}{（a+b）（b+c）（c+a）}$＞0．
$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{a+c}$≥3$\root{3}{\frac{1}{a+b}•\frac{1}{b+c}•\frac{1}{a+c}}$＞0．当且仅当a=b=c时等号成立．
由不等式的基本性质可知：
（a+b+c）（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{a+c}$）≥$\frac{3}{2}\root{3}{（a+b）（b+c）（c+a）}•3\root{3}{\frac{1}{a+b}•\frac{1}{b+c}•\frac{1}{a+c}}$=$\frac{9}{2}$．
即（a+b+c）（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{a+c}$）≥$\frac{9}{2}$成立．

点评 本题考查不等式的证明，均值不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．