Question

13．已知函数f（x）=cos（x+φ）+$\sqrt{3}$sin（x-φ）（-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$）是定义在R上的偶函数．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再将所得图象个点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上的值域．

Answer 1

分析 根据偶函数的定义f（-x）=f（x），求出φ的值，然后利用和差公式化简f（x），根据图象变换求出g（x）的解析式，结合余弦函数的值域求解函数g（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f-x）=f（x）．
即cos（-x+φ）+$\sqrt{3}$sin（-x-φ）=cos（x+φ）+$\sqrt{3}$sin（x-φ）
化简得：2sinxsinφ-2$\sqrt{3}sinxcos$φ=0
2sinx（sinφ-$\sqrt{3}$cosφ）=0
4sinxsin（φ-$\frac{π}{3}$）=0．
上式对于任意的x恒成立，所以sin（φ-$\frac{π}{3}$）=0．
∴φ-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z．
∵-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）f（x）=cos（x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$）
=$\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{3}{2}cosx$
=-cosx，
函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位得y=-cos（x$+\frac{π}{6}$）的图象；再将所得图象个点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，得y=-cos（2x$+\frac{π}{6}$）的图象．
∴g（x）=-cos（2x$+\frac{π}{6}$）．
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$）∴$\frac{π}{6}＜2x+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}＜$-cos（2x$+\frac{π}{6}$）≤1．
∴g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上的值域为（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

点评 本题考查了三角函数的奇偶性、值域及三角函数图象的变换，函数奇偶性的定义是解决函数奇偶性问题的一般方法，在图象平移变换时“左加右减，上加下减”，伸缩变换注意系数的变化．