Question

3．直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=4，P为平面ABCD外一点，且PA=PB，PD=PC，N为CD中点．
（1）求证：平面PCD⊥平面ABCD；
（2）在线段PC上是否存在一点E使得NE∥平面ABP．若存在，说明理由并确定E点的位置，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过P作PF⊥AB，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一，首先判断AB⊥平面PNF，得到AB⊥PN，只要再判断PN与CD垂直即可；
（2）解：假设在线段PC上存在一点E使得NE∥平面ABP；由（1）得NF=3，并且NF∥BC，在平面PBC内，取CE=$\frac{1}{4}$PC，过E作EG∥BC，与PB交于G，判断四边形NEGF为平行四边形，得到线线平行，利用线面平行的判定定理可得．

解答 （1）证明：过P作PF⊥AB，垂足为F，∵PA=PB，∴F为AB 的中点，连接NF
∵N为CD中点，
∴PN⊥CD，NF∥BC，
∵AB⊥BC
∴NF⊥AB，
∴AB⊥平面PNF，
∴AB⊥PN，
∵AB，CD是梯形的两腰，即AB与CD相交，
∴PN⊥平面ABCD，
∵PN?平面PCD
∴平面PCD⊥平面ABCD；
（2）解：假设在线段PC上存在一点E使得NE∥平面ABP；由（1）得NF=3，并且NF∥BC，
在平面PBC内，取CE=$\frac{1}{4}$PC，过E作EG∥BC，与PB交于G，则EG=$\frac{3}{4}$BC=3，
∴NF∥EG，并且NF=EG，
∴四边形NEGF为平行四边形，
∴NE∥FG，
又NF?平面PAB，FG?平面PAB，
∴NE∥平面PAB．
所以在线段PC上存在一点E使得NE∥平面ABP．

点评 本题考查了面面垂直的判定定理的运用以及探索线面平行的条件，属于中档题．