Question

8．已知直线l_n的斜率为k，经过点P_n（n，n²），l_n与l_n+1的距离为d_n，若数列{d_n}是无穷等差数列，则k的取值范围是k≤3．

Answer 1

分析 求出两条平行直线间的距离d_n=$\frac{|（n+1）^{2}-k（n+1）-{n}^{2}+kn|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|2n+1-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，该式的分母为常数，要使该数列为等差数列，则分子内的表示式2n+1-k不能变号（不能由负变正，也不能由正变负），只有不变号，才能成为等差数列，即可得出结论．

解答 解：直线l_n：kx-y+n²-kn=0，
直线l_n+1：kx-y+（n+1）²-k（n+1）=0，
这两条平行直线间的距离d_n=$\frac{|（n+1）^{2}-k（n+1）-{n}^{2}+kn|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|2n+1-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
该式的分母为常数，要使该数列为等差数列，
则分子内的表示式2n+1-k不能变号（不能由负变正，也不能由正变负），只有不变号，才能成为等差数列，
因此，当n=1时，（2n+1-k）_min=3-k≥0，解得k≤3．
故答案为：k≤3．

点评 本题考查两条平行直线间的距离，考查等差数列的判断，属于中档题．