Question

19．已知f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，若x∈[0，n]（n∈N^*）时，f（x）的值域为A_n，则A
₂={0，1，4}．记a_n=|A_n|，其中|A|表示集合A中元素的个数，则a_n=$\frac{1}{2}$（n²-n+4）．

Answer 1

分析 （1）由题意知，n=2，则[0，2]=[0，1）∪[1，2]，求出每一个区间的函数值，即可得到答案；
（2）根据[x]的定义，分别进行讨论即可得到结论．

解答 解：（1）由题意知，n=2，则[0，2]=[0，1）∪[1，2]
当x∈[0，1），[x[x]]=[x•0]=0；
当x∈[1，2），[x[x]]=[x]=1，
当x=2，[x[x]]=[2x]=4，
故f（x）的值域为A₂={0，1，4}，
故答案为：{0，1，4}
（2）∵[0，n）=[0，1）∪[1，2）∪[2，3）∪…[n-1，n），
当x∈[0，1），[x[x]]=[x•0]=0，只有1个，
当x∈[1，2），[x[x]]=[x]=1，只有1个，
当x∈[2，3），[x[x]]=[2x]∈{4，5}，有2个，
当x∈[3，4），[x[x]]=[3x]∈{9，10，11}，有3个，
…
当x∈[n-1，n），[x[x]]=[（n-1）x]∈{（n-1）²，（n-1）²+1，（n-1）²+2，…，n（n-1）-1}，
有n（n-1）-（n-1）²=n-1个，
∴所有A中的元素个数为1+1+2+3+4+…+（n-1）=$\frac{1}{2}$（n²-n+2），
又当x=n时，[x[x]]=[n²]=n²，有1个，
故共有$\frac{1}{2}$（n²-n+2）+1=$\frac{1}{2}$（n²-n+4），
故答案为：$\frac{1}{2}$（n²-n+4）．

点评 本题主要考查与集合有关的新定义题，根据条件分别求出对应范围的个数是解决本题的关键，综合性较强