Question

10．在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{DE}+μ\overrightarrow{AP}$，当∠PAB=$\frac{π}{3}$时，λ+μ=2，当∠PAB∈[0，$\frac{π}{2}$]时，λ+μ的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{DE}+μ\overrightarrow{AP}$=（$\frac{λ}{2}+μcosθ$，-λ+μsinθ ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示 λ和μ，根据cosθ，sinθ 的取值范围，再结合λ+μ的单调性，求出λ+μ=-1+$\frac{3sinθ+3}{2cosθ+sinθ}$的最小值及当∠PAB=$\frac{π}{3}$时的值．

解答 解：以A为原点，以AB所在的为x轴，
如图建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，
则E（$\frac{1}{2}$，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）．   
设 P（cosθ，sinθ），则$\overrightarrow{AC}$=（1，1）．
再由向量$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{DE}+μ\overrightarrow{AP}$
=λ（$\frac{1}{2}$，-1）+μ（cosθ，sinθ）
=（$\frac{λ}{2}+μcosθ$，-λ+μsinθ ），
可知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{2}+μcosθ=1}\\{-λ+μsinθ=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{2sinθ-2cosθ}{2cosθ+sinθ}}\\{μ=\frac{3}{2cosθ+sinθ}}\end{array}\right.$，
所以λ+μ=$\frac{3+2sinθ-2cosθ}{2cosθ+sinθ}$
=$\frac{（-2cosθ-sinθ）+3sinθ+3}{2cosθ+sinθ}$
=-1+$\frac{3sinθ+3}{2cosθ+sinθ}$．
当∠PAB=$\frac{π}{3}$时，即$θ=\frac{π}{3}$时，
$λ+μ=-1+\frac{3×\frac{\sqrt{3}}{2}+3}{2×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2；
当∠PAB∈[0，$\frac{π}{2}$]时，即0≤θ≤$\frac{π}{2}$，
所以0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．
求得（λ+μ）′=$\frac{3cosθ（2cosθ+sinθ）-（3sinθ+3）（-2sinθ+cosθ）}{（{2cosθ+sinθ）}^{2}}$
=$\frac{6+6sinθ-3cosθ}{（2cosθ+sinθ）^{2}}$＞0，
故λ+μ在[0，$\frac{π}{2}$]上是增函数，
所以当θ=0，即cosθ=1时，这时λ+μ取最小值为$\frac{3+0-2}{2+0}$=$\frac{1}{2}$，
故当∠PAB∈[0，$\frac{π}{2}$]时，λ+μ的最小值为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查两个向量坐标形式的运算，根据cosθ，sinθ 的取值范围求三角函数式的最值，利用导数研究函数的单调性．用cosθ，sinθ表示 λ和μ 是解题的难点，属于中档题．