Question

1．已知平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-$\sqrt{3}$，0），且抛物线x²=4y的焦点为椭圆的一个顶点，过P（0，2）的直线l分别与椭圆，抛物线交于不同的A，B，C，D四点．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程
（Ⅱ）求证：∠COD为钝角（其中O为坐标原点）；
（Ⅲ）设点A，B的横坐标分别为s，t求|s-t|取最大值时直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）依题意设椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，利用抛物线x²=4y的焦点坐标为（0，1），可得b=1，又$c=\sqrt{3}$，可得a=2，即可求出椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为：y=kx+2，代入x²=4y，利用韦达定理，结合数量积公式，即可证明；
（Ⅲ）y=kx+2代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，利用韦达定理，求出|s-t|，利用基本不等式求最值，即可得出结论．

解答 （I）解：依题意设椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
∵抛物线x²=4y的焦点坐标为（0，1），
∴b=1，
又$c=\sqrt{3}$，∴a=2，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y=kx+2，
代入x²=4y，可得x²-4kx-8=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁x₂=-8，y₁y₂=4，
∴cos∠COD=x₁x₂+y₁y₂=-4＜0，
∴∠COD为钝角（其中O为坐标原点）；
（Ⅲ）解：y=kx+2代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，可得（4k²+1）x²+16kx+12=0，
∴△=64k²-48＞0，
∴k²＞$\frac{3}{4}$，
∵点A，B的横坐标分别为s，t，
∴s+t=-$\frac{16k}{4{k}^{2}+1}$，st=$\frac{12}{4{k}^{2}+1}$，
∴（s-t）²=（-$\frac{16k}{4{k}^{2}+1}$）²-4×$\frac{12}{4{k}^{2}+1}$=$\frac{16（4{k}^{2}-3）}{（4{k}^{2}+1）^{2}}$，
设m=$\sqrt{4{k}^{2}-3}$＞0，则k²=$\frac{{m}^{2}+3}{4}$，
∴|s-t|=$\frac{4m}{{m}^{2}+4}$=$\frac{4}{m+\frac{4}{m}}$≤$\frac{4}{2\sqrt{m•\frac{4}{m}}}$=1，当且仅当m=2时等号成立，
∴m=$\sqrt{4{k}^{2}-3}$=2，
∴k=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$时，|s-t|取最大值，直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$x+2．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．