Question

6．矩形ABCD所在平面垂直于三角形ABE所在平面，AB=2AE=3，AD=2，∠ABE=30°，点F为线段BE靠近点E的一个三等分点，点P在线段CD上移动．
（Ⅰ）求证：平面PAE⊥平面BCE；
（Ⅱ）设$\overrightarrow{DP}$=λ$\overrightarrow{PC}$，当λ 为何值时，CF∥平面PAE；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）小题的条件下，求二面角P-EF-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只要证明AE⊥BC，AE⊥BE，即可证明AE⊥面BCE，而AE?面APE，从而可证平面PAE⊥平面BCE．
（Ⅱ）在直线AE上取点G，使得AG=2GE，连接PG，可证PCFG四点共面，由CF∥平面PAE，可证CF∥PG，可得PC和FG平行且相等，由PC=$\frac{1}{3}$CD，即可求得λ．
（Ⅲ）过P作AB的垂线，垂足为M，过M作BE的垂线，垂足为N，连接PN，可得PM⊥面ABE，又MN⊥BE，从而∠PNM为二面角P-EF-A的平面角，由余弦定理即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵AB=2AE，∠ABE=30°，
∴AE⊥BE．…（2分）
∵ABCD为矩形，
∴BC⊥AB．
又∵面ABCD⊥面ABE，AB为面ABCD与面ABE的交线
∴BC⊥面ABE，∴BC⊥AE．…（3分）
∵AE⊥BC，AE⊥BE，而BC与BE相交于点B，
∴AE⊥面BCE，而AE?面APE，
∴平面PAE⊥平面BCE．…（4分）
（Ⅱ）在直线AE上取点G，使得AG=2GE，连接PG，
∵BF=2EF，∴FG∥$\frac{1}{3}$AB，
∴PCFG四点共面．…（6分）
∵CF∥平面PAE，而面FCPG∩面PAE=直线PG，
∴CF∥PG，∴四边形PCFG为平行四边形，
∴PC和FG平行且相等．…（8分）
∴PC=$\frac{1}{3}$CD，所以λ=2．…（9分）
（Ⅲ）过P作AB的垂线，垂足为M，过M作BE的垂线，垂足为N，连接PN…10分
∵面ABCD⊥面ABE，AB为面ABCD与面ABE的交线，
∴PM⊥面ABE，又因为MN⊥BE，
所以∠PNM为二面角P-EF-A的平面角…12分
可求得：PM=2，MN=$\frac{1}{2}$，PN=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
所以由余弦定理可得：cos∠PNM=$\frac{\sqrt{17}}{17}$…15分

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，余弦定理的应用，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．