Question

14．已知一动圆与直线x=-2相切，且经过椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦点F．
（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；
（2）经过点F作两条互相垂直的直线分别交曲线C及椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1于M，N，P，Q四点，其中M，N在曲线C上，P，Q在椭圆上，求四边形PMQN面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义即可得出；
（2）当直线MN的斜率不存在时，直接求出即可．当直线MN的斜率存在时，且设为k（k≠0），则直线MN的方程为y=k（x-2），则直线PQ的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-2）．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．分别与抛物线、椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、四边形的面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1可知c²=9-5=4，则椭圆的右焦点为F（2，0）．
由抛物线的定义可知，动圆的圆心轨迹为以F（2，0）为焦点，直线x=-2为准线的抛物线，
故轨迹C的方程为y²=8x．
（2）当直线MN的斜率不存在时，|MN|=8．此时PQ的长为椭圆的长轴长，PQ=6，
则S_PMQN=$\frac{1}{2}\left|MN\right|$•|PQ|=$\frac{1}{2}$×8×6=24．
当直线MN的斜率存在时，且设为k（k≠0），则直线MN的方程为y=k（x-2），则直线PQ的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-2）．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\{y}^{2}=8x\end{array}\right.$消去y整理得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
由抛物线定义可知|MN|=|MF|+|NF|=x₁+2+x₂+2=x₁+x₂+4=$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$+4=8+$\frac{8}{{k}^{2}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{k}（x-2）\\ \frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1\end{array}\right.$消去y整理得（5k²+9）x²-36x+36-45k²=0，
|PQ|=$\sqrt{1+（-\frac{1}{k}）^{2}}\sqrt{（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}-4{x}_{3}{x}_{4}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}\sqrt{（\frac{36}{5{k}^{2}+9}）^{2}-4\frac{36-45{k}^{2}}{5{k}^{2}+9}}$=$\frac{30（1+{k}^{2}）}{5{k}^{2}+9}$，
则S_PMQN=$\frac{1}{2}\left|MN\right|$•|PQ|=$\frac{1}{2}$•$\frac{8（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$•$\frac{30（1+{k}^{2}）}{5{k}^{2}+9}$=120$\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{5{k}^{4}+9{k}^{2}}$，
令1+k²=t，t＞1，则S_PMQN=$\frac{120{t}^{2}}{5{t}^{2}-t-4}$=$\frac{120}{5-\frac{1}{t}-\frac{4}{{t}^{2}}}$，
而5-$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{{t}^{2}}$∈（0，5），则S_PMQN∈（24，+∞）．
综上可得：四边形PMQN面积的最小值为24．

点评 本题主要考查了抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线椭圆相交问题弦长问题、相互垂直的直线斜率之间的关系、四边形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．