Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2-（\frac{1}{2}）^{x}，&x≤0\\ 2{x}^{2}+1，&x＞0\end{array}\right.$，g（x）=kx，若函数h（x）=f（x）-g（x）有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． [2$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （0，+∞）
• D． （2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）的图象和函数g（x）的图象有3个不同的交点，当直线g（x）=kx和y=2x²+1（x＞0）相切时，由斜率公式、导数的几何意义求得切点A的坐标，求得切线斜率的值，数形结合合可得实数k的取值范围．

解答 解：如图示：

由题意可得函数f（x）的图象和函数g（x）的图象有3个不同的交点，
当直线g（x）=kx和y=2x²+1（x＞0）相切时，设切点A（x₀，2${{x}_{0}}^{2}$+1），
则切线的斜率k=$\frac{{{2x}_{0}}^{2}+1-0}{{x}_{0}-0}$=f′（x₀）=4x₀，解得 x₀=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
此时，k=2$\sqrt{2}$，数形结合合可得函数f（x）的图象和函数g（x）的图象有3个不同的交点，
则实数k的取值范围是（2$\sqrt{2}$，+∞），
故选：D．

点评 本题主要考查函数零点个数的判断方法，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．