Question

11．如图，在三棱柱BCD-B₁C₁D₁与四棱锥A-BB₁D₁D的组合体，已知BB₁⊥平面BCD，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，AB=4，AD=2，BB₁=1，设O是线段BD的中点．
（1）求证：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）证明：平面AB₁D₁⊥平面ADD₁；
（3）求点D到平面AB₁D₁的距离．

Answer 1

分析 （1）取B₁D₁的中点E，连接C₁E，OA，易证C₁EAO为平行四边形，从而得而C₁O∥EA，利用线面平行的判定定理即可；
（2）可根据∠ABC=120°，AB=2，AD=4，证得∠ABD=$\frac{π}{2}$，即BD⊥AD，进一步可证BD⊥DD₁，从而证得BD⊥平面ADD₁，BD∥B₁D₁，于是得B₁D₁⊥平面ADD₁，利用面面垂直的判定定理可得结论；
（3）利用等体积法，求点D到平面ABD₁的距离．

解答 （1）证明：取B₁D₁的中点E，连接C₁E，OA，则A，O，C共线，且C₁E=OA，
∵BCD-B₁C₁D₁为三棱柱，
∴平面BCD∥平面B₁C₁D₁，
故C₁E∥OA，
∴C₁EAO为平行四边形，
从而C₁O∥EA，
又∵C₁O?平面AB₁D₁，EA?平面AB₁D₁，
∴C₁O∥平面AB₁D₁．
（2）证明：∵∠ABC=120°，AB=4，AD=2，
∴BD=$\sqrt{4+16-2×2×4×cos60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴AD²=16=AD²+BD²，∠ABD=$\frac{π}{2}$，
即BD⊥AD，
又BB₁⊥平面BCD，BD?平面BCD，BB₁⊥BD，
在三棱柱BCD-B₁C₁D₁中，BB₁∥DD₁，则BD⊥DD₁，
而DD₁∩AD=D，
∴BD⊥平面ADD₁，
又BD∥B₁D₁，得B₁D₁⊥平面ADD₁，
而B₁D₁?平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁⊥平面ADD₁；
（3）解：由题意，△AD₁B中，AD₁=$\sqrt{5}$，AB=4，BD₁=$\sqrt{13}$，
∴cos∠D₁AB=$\frac{16+5-13}{2×4×\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴sin∠D₁AB=$\frac{2}{\sqrt{5}}$
∴${S}_{△AB{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{5}×\frac{2}{\sqrt{5}}$=4，
设点D到平面ABD₁的距离为h，则
$\frac{1}{3}×4h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×sin60°×1$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定与直线与平面平行的判定，考查点D到平面ABD₁的距离，着重考查面面垂直与线面平行的判定定理的应用，注意使用定理的严谨性，属于中档题．