Question

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有S_n=2a_n+n-3成立．
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推式、等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等差数列与等比数列前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵S_n=2a_n+n-3成立，
∴当n=1时，a₁=2a₁+1-3，解得a₁=2．
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1+n-1-3，
a_n=2a_n-2a_n-1+1，化为a_n=2a_n-1-1，变形为a_n-1=2（a_n-1-1），
∴数列{a_n-1}为等比数列，首项为a₁-1=1，公比为2；
（2）解：由（1）可得：${a}_{n}-1=1×{2}^{n-1}$，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}+1$．
∴$n{a}_{n}=n（{2}^{n-1}+1）$=n•2^n-1+n．
设A_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，
∴2A_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
∴-A_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ=2$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n×2ⁿ=（1-n）×2ⁿ-1，
∴A_n=（n-1）×2ⁿ+1，
∴数列{na_n}的前n项和T_n=（n-1）×2ⁿ+1+$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．