Question

9．复数z使|z|=1成立，求|z+1-2i|的最大值和最小值及相应的z．

Answer 1

分析 满足|z|=1的复数z，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，|z+1-2i|表示复数z在复平面内对应点Z到点A（-1，2）的距离，即可求解|z+1-2i|的最值．通过直线与圆的方程求解z即可．

解答 解：满足|z|=1的复数z，在以原点为圆心，以1为半径的圆上． 而|z+1-2i|表示复数z在复平面内对应点Z到点A（-1，2）
的距离，OA=$\sqrt{5}$，|z+1-2i|的最小值是 $\sqrt{5}-1$，
|z+1-2i|的最大值为$\sqrt{5}+1$．由OA的方程为：y=-2x，|z|=1表示x²+y²=1，联立可得x=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
|z+1-2i|的最小值是 $\sqrt{5}-1$时，z=$-\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}i$．
|z+1-2i|的最大值为$\sqrt{5}+1$时，z=$\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}i$．

点评 本题考查两个复数差的模的几何意义，复数的应用，是一道中档题．