Question

17．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AB₁⊥BC，且AA₁=AB．
（1）求证：AB∥平面D₁DCC₁；
（2）求证：AB₁⊥平面A₁BC．

Answer 1

分析 （1）由AB∥CD，且CD?平面D₁DCC₁，AB?平面D₁DCC₁，由线面平行的判定定理即可证明AB∥平面D₁DCC₁；
（2）证明AB₁⊥平面A₁BC，只需证明AB₁⊥A₁B，利用四边形ABB₁A₁为菱形即可；

解答 证明：（1）∵AB∥CD，CD?平面D₁DCC₁，AB?平面D₁DCC₁；
∴AB∥平面D₁DCC₁；…（3分）
（2）在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABB₁A₁为平行四边形，
∵AA₁=AB，
∴四边形ABB₁A₁为菱形，
∴AB₁⊥A₁B，
∵AB₁⊥BC，A₁B∩BC=B，
∴AB₁⊥平面A₁BC，…（8分）

点评 本题考查线面垂直的证明，直线与平面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．