Question

7．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，经过点A（2，1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是抛物线上异于点A的两点，∠MAN=$\frac{π}{2}$．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线MN经过定点，并求定点坐标；
（3）若x₂＜2＜x₁，点M，A，N在x轴上的投影分别是R，S，T，求$\frac{|TS|}{|SR|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的方程为x²=2py，（p＞0），由点P（1，2）在抛物线上，求出p即可．
（2）设直线AM的斜率为k，则直线AN的斜率为-$\frac{1}{k}$，直线AM的方程为y-1=k（x-2），直线AN的方程为y-1=-$\frac{1}{k}$（x-2），直线AM方程与抛物线方程联立化为x²-4kx+8k-2=0，利用根与系数的关系可得M（4k-2，4k²-4k+1），同理，得N（-$\frac{4}{k}$-2，$\frac{4}{{k}^{2}}+\frac{4}{k}+1$），可得直线MN的方程为：（k-$\frac{1}{k}$-1）x-y+2k-$\frac{2}{k}$-2+5=0，利用直线系即可得出定点；
（3）根据∠MAN=$\frac{π}{2}$，建立垂直关系，利用利用基本不等式进行求解．

解答 （1）解：∵抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，经过点A（2，1），
∴设抛物线的标准方程为：x²=2py，（p＞0），
把A（2，1）的坐标代入上式，得
p=2，∴抛物线的标准方程为：x²=4y；
（2）证明：设直线AM的斜率为k，则直线AN的斜率为-$\frac{1}{k}$，
直线AM的方程为y-1=k（x-2），
直线AN的方程为y-1=-$\frac{1}{k}$（x-2），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，
消去y并整理得x²-4kx+8k-2=0，
∴x₁+2=4k，
∴x₁=4k-2，
∴y₁=k（4k-4）+1=4k²-4k+1，
∴M（4k-2，4k²-4k+1），
同理，得N（-$\frac{4}{k}$-2，$\frac{4}{{k}^{2}}+\frac{4}{k}+1$），
∴直线MN的斜率为：k_MN=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=k-$\frac{1}{k}$-1，
根据两点式得直线MN的方程为：（k-$\frac{1}{k}$-1）x-y+2k-$\frac{2}{k}$-2+5=0，
∴（k-$\frac{1}{k}$-1）x-y+2（k-$\frac{1}{k}$-1）+5=0，
令k-$\frac{1}{k}$-1=t，
∴tx-y+2t+5=0，
∴t（x+2）-y+5=0，
令x+2=0，得x=-2，
此时，-y+5=0，解得y=5，
∴直线MN经过定点（-2，5）；
（3）M（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），N（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
$\overrightarrow{AM}$=（x₁-2，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-1），$\overrightarrow{AN}$=（x₂-2，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$-1），
∵，∠MAN=$\frac{π}{2}$．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=0，
则（x₁-2）（x₂-2）+（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-1）（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$-1）=0，
即（x₁-2）（x₂-2）+$\frac{（{x}_{1}-2）（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）（{x}_{2}+2）}{16}$=0，
则（x₁-2）（x₂-2）•$\frac{16+（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}{16}=0$，
∵x₂＜2＜x₁，
∴16+（x₁+2）（x₂+2）=0，即x₂+2=$-\frac{16}{{x}_{1}+2}$，
则$\frac{|TS|}{|SR|}$=$\frac{2-{x}_{1}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{2-{x}_{1}}{{x}_{2}+2-4}$=$\frac{{x}_{1}-2}{4+\frac{16}{{x}_{1}+2}}$=$\frac{{x}_{1}-2}{\frac{4n+24}{{x}_{1}+2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4}{4{x}_{1}+24}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4}{4（{x}_{1}+6）}$
=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-36+32}{4（{x}_{1}+6）}$=$\frac{（{x}_{1}+6）（{x}_{1}-6）}{4（{x}_{1}+6）}$+$\frac{32}{4（{x}_{1}+6）}$=$\frac{{x}_{1}-6}{4}$+$\frac{32}{4（{x}_{1}+6）}$=$\frac{{x}_{1}+6}{4}$-3+$\frac{32}{4（{x}_{1}+6）}$，
∵$\frac{{x}_{1}+6}{4}$+$\frac{32}{4（{x}_{1}+6）}$$≥2\sqrt{\frac{{x}_{1}+6}{4}•\frac{32}{4（{x}_{1}+6）}}=2\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{{x}_{1}+6}{4}$=$\frac{32}{4（{x}_{1}+6）}$取等号，
∴$\frac{{x}_{1}+6}{4}$-3+$\frac{32}{4（{x}_{1}+6）}$≥2$\sqrt{2}-3$，
故$\frac{|TS|}{|SR|}$的最小值为2$\sqrt{2}-3$．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．重点理解与掌握抛物线的方程、抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于难题．