Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值为（　　）

• A． 8
• B． 8$\sqrt{3}$
• C． 16
• D． 16$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求弦AB长，再求高，即点F₂到直线AB的距离．利用平行四边的面积公式进行求解．

解答 解：因为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，所以a²=16，b²=4，c²=12，F₁（-2$\sqrt{3}$，0）．
若直线AB的斜率不存在时，即x=-2$\sqrt{3}$，
此时A（-2$\sqrt{3}$，1），B（-2$\sqrt{3}$，-1），故S_?ABCD=2×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$；
若直线AB的斜率存在且设为k，即y=k（x+2$\sqrt{3}$），与$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1联立方程组整理得：
（1+4k²）x²+16$\sqrt{3}$k²x+48k²-16=0，有x₁+x₂=-$\frac{16\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{48{k}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}$，
则|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\left|{x}_{1}-{x}_{2}\right|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=8$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$．
AB边上高，即点F₂（2$\sqrt{3}$，0）到直线y=k（x+2$\sqrt{3}$）的距离为$\frac{\left|4\sqrt{3}k\right|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则S_?ABCD=$\left|8\sqrt{3}k\right|\sqrt{\frac{16+16{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=8$\sqrt{3}\sqrt{\frac{16{k}^{2}+16{k}^{4}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=8$\sqrt{3}\sqrt{1+\frac{8{k}^{2}-1}{1+8{k}^{2}+16{k}^{4}}}$．
令8k²-1=t，t≥-1，
则8k²=1+t，则$\frac{8{k}^{2}-1}{1+8{k}^{2}+16{k}^{4}}$=$\frac{4t}{{t}^{2}+6t+9}$，
当t=0时，$\frac{4t}{{t}^{2}+6t+9}$=0，S_?ABCD=8$\sqrt{3}$．
若t≠0，$\frac{4t}{{t}^{2}+6t+9}$=$\frac{4}{t+\frac{9}{t}+6}$，
则当t=3时，$\frac{4t}{{t}^{2}+6t+9}$取得最大值$\frac{1}{3}$，此时S_?ABCD=8$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{4}{3}}$=16．
综上，（S_?ABCD）_max=16．
故选：C

点评 本题主要考查平行四边形的面积的计算，考查直线和圆锥曲线的位置关系的应用，联立直线和椭圆的方程是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．