Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{2{y}^{2}}{9}$=1的右顶点，点D（1，0），点P，B在椭圆上，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$．
（1）求直线BD的方程；
（2）求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）首先根据向量相等求出四边形DAPB为平行四边形．进一步利用向量的相等和点在椭圆上求出点B的坐标，最后求出直线的方程．
（2）首先根据三点的坐标求出圆的方程的一般式，进一步转化成标准式，再利用圆心到直线的距离求出弦心距，利用勾股定理求出所截得弦长．

解答 解：（1）在平面直角坐标系xOy中，点D（1，0），点P，B在椭圆上，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$．
则：四边形DAPB为平行四边形．
已知点A为椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{2{y}^{2}}{9}$=1的右顶点，
所以：A（3，0），
所以：AD=2，
点P，B在椭圆上，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$．
则：y轴平分BP．
设：B（-1，y），P（1，y），
代入椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{2{y}^{2}}{9}=1$，
解得：y=2．
所以：B（-1，2），P（1，2），
所以直线BD的方程为：x+y-1=0．
（2）由（1）得：B（-1，2），P（1，2），A（3，0），
所以设经过这三点的圆的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则：$\left\{\begin{array}{l}1+4-D+2E+F=0\\ 1+4+D+2E+F=0\\ 9+3D+F=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}D=0\\ F=-9\\ E=2\end{array}\right.$．
所以圆的方程为：x²+y²+2y-9=0，
即：x²+（y+1）²=10，
圆心坐标为：（0，-1），半径为$\sqrt{10}$，
则：圆心到直线BD的距离d=$\frac{|-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
所截得的弦长为：$2l=2\sqrt{10-2}=4\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识要点：椭圆方程的应用，相等向量的应用，利用点的坐标求直线的方程，圆的方程的一般式的应用，直线与圆的位置关系的应用．