Question

13．底面边长为1的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是DD₁的中点，AM与CB₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，则点D到平面AMC的距离（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 设侧棱长为2a，则利用平移法确定AM与CB₁所成角，且三角形的三边为3a，$\sqrt{{a}^{2}+1}$，$\sqrt{4{a}^{2}+1}$，根据AM与CB₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，利用余弦定理，求出a，再利用等体积求出点D到平面AMC的距离．

解答 解：设侧棱长为2a，则利用平移法确定AM与CB₁所成角，且三角形的三边为3a，$\sqrt{{a}^{2}+1}$，$\sqrt{4{a}^{2}+1}$，
∵AM与CB₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴|$\frac{{a}^{2}+1+4{a}^{2}+1-9{a}^{2}}{2\sqrt{{a}^{2}+1}•\sqrt{4{a}^{2}+1}}$|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴a=1，
△AMC中，AM=CM=AC=$\sqrt{2}$，∴S_△AMC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
设点D到平面AMC的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}h$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查点D到平面AMC的距离，考查AM与CB₁所成角，考查学生的计算能力，确定侧棱长是关键．