Question

1．如图，?ABCD中，M、N分别是边DC、BC的中点．
（1）求证：MN∥$\frac{1}{2}$DB，MN=$\frac{1}{2}$DB；
（2）设$\overrightarrow{AB}$=a，$\overrightarrow{AD}$=b，且$\overrightarrow{MN}$=$x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$，求x，y的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，在△BCD中，MN为中位线，即得结果；
（2）$x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$，即得结果．

解答 （1）证明：根据题意，在△BCD中，
MN为中位线，所以MN∥$\frac{1}{2}$DB，MN=$\frac{1}{2}$DB；
（2）解：根据题意，可得
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$，
又$\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$，
所以$x=\frac{1}{2}$，$y=-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查向量的运算，将$\overrightarrow{MN}$表示成$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$是解决本题的关键，属基础题．