Question

11．给出下列四个命题：
①“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；
②对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）
③函数f（x）=log_a$\frac{3+x}{3-x}$（a＞0，a≠1）是偶函数；
④已知a＞0，则x₀满足关于x的方程ax=b的充要条件是“?x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≥$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀”，其中真命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①利用命题的否定即可判断出正误；
②利用函数的奇偶性、导数与单调性的关系即可判断出正误；
③先判定函数的奇偶性，即可判断出正误；
④由于y=$\frac{1}{2}$ax²-bx的顶点为x=$\frac{b}{a}$，因此x₀满足关于x的方程ax=b⇒“?x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≥$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀”，而反之不成立．

解答 解：①“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”，正确；
②对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，说明在x＞0时，奇函数f（x）单调递增，偶函数g（x）也单调递增；因此当x＜0时，必有奇函数f（x）单调递增，偶函数g（x）也单调递减，因此x＜0时，f′（x）＞0＞g′（x），正确；
③∵$f（-x）=lo{g}_{a}\frac{3-x}{3+x}$=-f（x），且定义域为（-3，3），关于原点对称，因此函数f（x）=log_a$\frac{3+x}{3-x}$（a＞0，a≠1）是奇函数，故不正确；
④由于y=$\frac{1}{2}$ax²-bx的顶点为$x=-\frac{-b}{2×\frac{1}{2}a}$=$\frac{b}{a}$，因此x₀满足关于x的方程ax=b⇒“?x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≥$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀”，而反之不成立，因此a＞0，则x₀满足关于x的方程ax=b的必要条件是“?x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≥$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀”，故不正确．
综上可得：真命题的个数为2．
故选：B．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性单调性的判定、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．