Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$ 对任意的x∈R，不等式f（x）＜a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先将原函数分离常数，然后结合指数函数的性质，再求含有自变量部分的式子的范围，则问题可解．

解答 解：由已知原函数可化为：$f（x）=\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$．
因为2^x＞0，所以2^x+1＞1，
所以0$＜\frac{2}{{2}^{x}+1}＜2$，所以$-2＜-\frac{2}{{2}^{x}+1}＜0$，
所以$-1＜1-\frac{2}{{2}^{x}+1}＜1$，
所以要使对任意的x∈R，不等式f（x）＜a恒成立，
只需a≥1即可．
故所求a的范围是[1，+∞）．

点评 本题考查了指数函数的性质，不等式恒成立问题转化为函数最值问题的解题思路．