Question

14．已知点P在曲线y=$\frac{4}{{（2}^{x}+1）ln2}$上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是．

• A． [0，$\frac{π}{4}$）
• B． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）
• C． （$\frac{π}{2}$，$\frac{3}{4}$π]
• D． [$\frac{3}{4}$π，π）

Answer 1

分析 利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．

解答 解：y=$\frac{4}{{（2}^{x}+1）ln2}$的导数为y′=$\frac{4}{ln2}$•$\frac{-{2}^{x}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$
=$\frac{-4}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}+2}$，
由2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2$\sqrt{{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}$=2，当且仅当x=0取得等号．
即有$\frac{1}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}+2}$∈（0，$\frac{1}{4}$]，
即有$\frac{-4}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}+2}$∈[-1，0），
即有tanα∈[-1，0），
由0≤α＜π，
可得$\frac{3π}{4}$≤α＜π，
故选：D．

点评 本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值，正确求导是解题的关键．