Question

3．已知直线l₁：x+a²y+1=0的方向向量与直线l₂：（a²+1）x-by+3=0的法向量平行，且a•b≠0，求|ab|的最小值．

Answer 1

分析 由直线的斜率得到l₁的方向向量，再由直线l₂的斜率结合向量垂直得到l₂的法向量，由向量平行得到关于a，b的关系式，结合“对勾函数”的特点得答案．

解答 解：由直线l₁：x+a²y+1=0，可得其方向向量为（a²，-1），
对于直线l₂：（a²+1）x-by+3=0，斜率k=$\frac{{a}^{2}+1}{b}$，
故法向量为（a²+1，-b），
由方向向量与法向量平行，得到-a²b+a²+1=0，
即b=$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}}$，
∴|ab|=|$a•\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}}$|=|a+$\frac{1}{a}$|，
∴当a=1或a=-1时，|ab|_min=2．

点评 本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了直线的方向向量与法向量，是中档题．