Question

8．已知数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$（n∈N^*），若a_n+a_n+1=$\sqrt{11}$-3，则n=9．

Answer 1

分析 把数列的通项公式分母有理化后裂项，代入a_n+a_n+1=$\sqrt{11}$-3求得n的值．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
又a_n+a_n+1=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}+\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$=$\sqrt{n+2}-\sqrt{n}$=$\sqrt{11}$-3，
得$\sqrt{n+2}+3=\sqrt{n}+\sqrt{11}$，
两边平方得：$3\sqrt{n+2}=\sqrt{11n}$，
再平方得9n+18=11n，即n=9．
故答案为：9．

点评 本题考查了数列递推式，考查了裂项相消法求数列的通项公式，是中档题．