Question

17．设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$
（1）求φ；
（2）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（3）求函数y=f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意可得2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，由此求得φ的值．
（2）由条件根据正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．
（3）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得y=f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（1）由于函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$，
可得2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，求得φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈z，∴φ=-$\frac{3π}{4}$．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，
可得函数y=f（x）的单调递增区间为[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈z．
（3）由x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得2x-$\frac{3π}{4}$∈[-$\frac{5π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，sin（2x+φ）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性、正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．