Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E为PB的中点．
（1）求证：PD∥平面ACE；
（2）求证：PA⊥CE；
（3）在线段PC上是否存在一点F，使得BF⊥平面PAC？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用三角形的中位线得到线线平行，进一步转化成线面平行．
（2）首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步转化成线线垂直．
（3）假设存在点F，进一步利用相关的条件得到线线垂直，再转化成线面垂直，从而说明点的存在．

解答 解：（1）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，
连接AC，BD交于点O，
∴O为BD的中点，
又∵E为PB的中点．
∴OE∥PD，
∵OE?平面ACE，
PD?平面ACE
∴PD∥平面ACE；
∵平面PAB⊥平面ABCD，
BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．
PA⊥PB，
∴PA⊥平面PBC，
CE?平面PBC，
∴PA⊥CE．
（3）取PC的中点F，
连接BF，由于BP=BC，
∴PBC为等腰三角形．
∴BF⊥PC．
由（2）得：PA⊥平面PBC，
∴PA⊥BF，
∴BF⊥平面PAC．
在线段PC上存在一点F，使得BF⊥平面PAC

点评 本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面垂直的性质和判定的应用．存在性问题的应用．