Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+ax+2，x∈[1，2]的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则a的取值范围为（-6，-2）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得两切点处的切线的斜率，运用两直线垂直的条件，结合二次函数的值域求法，对a讨论，考虑等式有解的条件，即可得到a的范围．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+ax+2的导数为f′（x）=x²+x+a，
设图象上两点（m，n），（s，t），且m，s∈[1，2]，
即有两切线的斜率分别为k₁=m²+m+a，k₂=s²+s+a，
由在这两点处的切线互相垂直，可得k₁k₂=-1，
即有m²+m+a=$\frac{-1}{{s}^{2}+s+a}$，
由m∈[1，2]，
则k₁=m²+m+a=（m+$\frac{1}{2}$）²+a-$\frac{1}{4}$∈[a+2，a+6]，
同样k₂=s²+s+a∈[a+2，a+6]，
当a≤-6时，k₁≤0，k₂≤0，不成立；
当a≥-2时，k₁≥0，k₂≥0，不成立；
当-6＜a＜-2时，k₁，k₂有正有负，等式成立，
即图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直．
故a的取值范围为（-6，-2）．
故答案为：（-6，-2）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，二次函数在闭区间上的最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．